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来源:未知 编辑:admin 时间:2019-06-10

  编号:6 Grothendieck是谁?Grothendieck做了什么?为什么这么多人会喜欢Grothendieck?为什么我一个上班族,会想着寻找志同道合之士去一同翻译《收获与播种》第二章(可能带上第三章)?下面这篇15年前的古老文章里,应该有一些答案。本文是Notices2004年1…显示全部

  blockquoteb平面椭圆,一个神奇的图形。/b/blockquotep小时候的我,觉得椭圆就是一个普普通通的图形。直到我上了高中,接触了圆锥曲线,经历了一番摧残之后,我觉得我似乎认清了椭圆的真面目。而现在,我又碰到了椭圆积分,才发现我真的太天真了......所以,我现在对椭圆充满敬畏之情,不知道何时又会碰到与之有关的更为高深的知识。下面我们就从椭圆的周长开始,慢慢揭开椭圆积分的神秘面纱....../phrollib问题的引入:椭圆的周长/b/li/olp如果我没记错的话求平面曲线的弧长应该是导数的基本应用之一吧。首先,我们来回忆一下计算平面曲线弧长的公式。/pp设一连续可微的平面曲线 img src=的参数方程为:/ppimg src=我们取这个曲线 img src=上的一段微元并记作 img src=。有勾股定理可得:/ppimg src=而:/ppimg src=带入 img src=的表达式有:/ppimg src=两边同时积分可得:/ppimg src=这就是有关参数方程的弧长公式了。我们先小试牛刀,计算一下圆的周长。/pp我们知道,圆的标准参数方程是(其中 img src=为圆的半径):/ppimg src=则:/ppimg src=代入弧长公式有:/ppimg src=一切过程都十分顺利,那我们再来看看椭圆:/pp椭圆的标准参数方程大家肯定也不会陌生(其中 img src=为半长轴长, img src=为半短轴长):/ppimg src=我们仅计算椭圆在第一象限的部分的弧长,之后在乘以 img src=就好了。但是第一象限部分的参数的取值范围会有变化,即在第一象限中 img src=。参数方程的导数为:/ppimg src=代入到弧长公式中得到:/ppimg src=直到现在,仍一切顺利,我们在化简一下看看:/ppimg src=嗯?这玩意怎么处理?到这一步会发现根号完全去不掉,原函数也找不到。到此,本文结束。/pp class=ztext-empty-paragraphbr/pp class=ztext-empty-paragraphbr/pp class=ztext-empty-paragraphbr/pp class=ztext-empty-paragraphbr/pp class=ztext-empty-paragraphbr/pp class=ztext-empty-paragraphbr/pp class=ztext-empty-paragraphbr/pp嘿嘿,开个玩笑。聪明的数学家们是不可能就此罢休的,于是他们又开始将上面的式子进一步化简:/ppimg src=其中: img src=叫做椭圆的b离心率/b。/ppimg src=式还可做变量代换: img src=则:/ppimg src=则有变量代换后的积分:/ppimg src=还可以写的更有强迫症一点:/ppimg src=到现在,椭圆积分的雏形已经出现了。/ppb2. 椭圆积分的诞生/b/pp经过 img src=等数学家的研究,椭圆积分的知识体系渐渐完善,直到 img src=的出现彻底彻底完善了椭圆积分的知识体系。/pp我们先观察 img src=式,这个式子是椭圆周长的积分公式,而它可以被拆成两部分:/ppimg src=我们将拆开后的第一部分拿出来,并去掉积分上下限和系数得到不定积分:/ppimg src=再将第二部分拿出来,去掉系数和积分上下限得到另一个不定积分:/ppimg src=另外还有个一个不定积分:/ppimg src=这三个不定积分便是 img src=所总结得到的。若将上面的三个不定积分做变量代换: img src=则:/ppimg src=(这个我不知道怎么来的...)/pp上面的 img src=分别叫做bimg src=第一类,第二类,第三类椭圆积分。/b/pp之后 img src=又定义了三类 img src=椭圆积分,是将 img src=椭圆积分里面的 img src=换回 img src=得到的,即: /ppimg src=参数 img src=叫做椭圆积分的模。/pp特别的,当 img src=或 img src=时,这三类椭圆积分都称为b完全椭圆积分/b,否则称为b不完全椭圆积分/b,即:/pp完全 img src=椭圆积分: img src=完全 img src=椭圆积分: img src=椭圆的周长公式/b/pp椭圆并非没有周长,只不过没有精确值罢了。对于其周长公式,是一个无穷级数的形式:/ppimg src=其中: img src=为半长轴长, img src=为椭圆的离心率。这个级数是由第二类椭圆积分展开所得到的。(可惜我不会展开)。可见,当离心率为零时,级数退化为圆的周长公式。/pp当然,椭圆的周长公式有几个近似公式:/pulli利用算数平均值近似:(精度较低)/li/ulpimg src=(误差)。误差与离心率和半短轴与半长轴之比的关系。图片来源:维基百科。/figcaption/figurep class=ztext-empty-paragraphbr/pulli利用平方均值近似:(精度一般)/li/ulpimg src=(误差)。误差与离心率和半短轴与半长轴之比的关系。图片来源:维基百科。/figcaption/figurep class=ztext-empty-paragraphbr/pulliimg src=近似公式:(精度很高)/li/ulpimg src=(误差),Bereich(区间)。误差与离心率之间的关系。图片来源:维基百科。/figcaption/figurefigure data-size=normalimg src=还有没关注专栏《数学及自然科学}》的朋友们请赶快关注吧!您的支持是我最大的动力/b!/p

  小时候的我,觉得椭圆就是一个普普通通的图形。直到我上了高中,接触了圆锥曲线,经历了一番摧残之后,我觉得我似乎认清了椭圆的真面目。而现在,我又碰到了椭圆积分,才发现我真的太天真了......所以,我现在对椭圆充满敬畏之情…显示全部

  p 主要是国内教材太差,其实高考范围内就有差距了,你看北京四中,人大附的和三线城市普通老师对同样内容的解读,不在一个维度。/pp但是题主的智商,应付初等数学,物理内容不在话下,就忽略了这个因素,到了高等数学,理论物理的阶段,就发现遇到了瓶颈,这是很正常的,下面就推荐下数学方面的教材吧。/ppbr/pp大学数学基础课是数学分析,高等代数,概率三门。 /pp数学分析(或叫做高等数学,微积分)经典名著太多了,比如菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》,柯朗的《微积分和数学分析引论》,卓里奇的《数学分析》,还有美国教材《托马斯微积分》,都是好书,不过这些都是惶惶巨著,需要下大功夫研读,如果想从很浅的基础开始看,可以看《普林斯顿微积分读本》(网上有48课时视频)。所有这些都比国内教材(比如同济的)好很多很多。如果英语基础好的话直接看英文版的,否则看中文的也行。/pp高等代数(或者叫做线性代数),可以看的《线性代数及其应用》,这本书入门级别,但是质量很高,掌握之后可以看《线性代数应该这样学》,看完线性代数后还觉得不过瘾,可以看高等代数,或者矩阵分析,矩阵理论等等教材,有了线性代数的基础,就有了免疫力,不至于被国内的枯燥教材弄恶心了。/pp概率论,看国外的最好 /pp这三门学完后,就可以进阶了,首先是在这三门的基础上进阶,数学分析进阶可以看实变函数方面的书,比如《陶哲轩实分析》,不过这本书偏重数学分析的内容,算是对数学分析的深化理解。高等代数进阶刚才说过了,可以看矩阵分析方面的书。多个方向同时进阶可以看咱们华罗庚的《高等数学引论》。/pp数学的主要几个分支大概是:代数,几何,分析,概率,离散,计算,当然分类不是唯一的。进阶结束之后就可以向着这些方向进发了: /pp代数方面的,可以看Artin的《代数》,算是入门书,看完之后就可以看代数里的各个方向的著作,比如数论,群论,环,域,拓扑等等。这些方面也是经典著作云集,以国外的为主。/pp几何方面的,其实几何与代数到了最后好像要统一了。可以先看解析几何入门,然后进入微分几何,黎曼几何,流形,射影几何,画法几何,双曲几何等等。几何与代数统一叙述的著作,可以看代数拓扑,代数几何,代数曲线,同调论方面的书。/pp数学中最大的一个分支应该是分析吧,它主要包括:实分析,复分析,泛函分析,调和分析,向量分析,张量分析,场论,函数论,常微分方程,偏微分方程,积分方程,积分变换,变分法,特殊函数等等。分析这方面相比代数之类的方向来说,更加偏应用一些。这些方面好书实在太多了,首先就是stein的四部曲:《傅里叶分析》,《实分析》,《复分析》,《泛函分析》。这四部书不厚,但是内容多,不过只要懂微积分和线性代数就可以学习了。br复分析还可以看拉夫连季耶夫的《复变函数论方法》,以及一本超级好书:《复分析:可视化方法》,前者讲复分析的方法(主要是共形映射)在各个物理,经济等学科里的应用方法,后者主要是把复变函数的抽象思想用非常美的图形表现出来,而且很深刻。br函数论方面可以看法兰西数学系列(蓝色封皮的)一些书,以及国内的两本:路见可的《解析函数边值问题教程》,闻国椿的《共形映射与边值问题》,函数论常常和奇异积分方程相联系,这方面有经典巨著:穆斯海里什维利的《奇异积分方程》br实分析常常和泛函分析相联系,可以看国内夏道行的《实变函数与泛函分析》,以及俄罗斯柯尔莫戈洛夫的《函数论与泛函分析初步》,美国Rudin的《泛函分析》等等。 br学完实分析与复分析之后就可以看调和分析方面的书了,先推荐一本,stein的超级名著:《调和分析》,很厚,牛人stein的专业就是搞调和分析方面的,细细品味吧。 br向量分析,张量分析,场论,其实这三个学科说是分析也是分析,说是几何也是几何,他们和微分几何有着很多联系,可以先看点入门的,比如国内的两本,一本工程数学类的绿色封皮的《矢量分析与场论》,一本白色封皮的《向量分析与场论》,都很薄,不过可以同时看美国Matthews的《向量微积分》,这本书也不厚,但是它后面的内容会过渡到指标和张量,便于进入张量的学习。张量分析方面可以看国内黄克智的《张量分析》,绝对是好书,作者留学俄罗斯,数学推导功底深不可测,所以学习该书也需要亲自动手推导,不过讲的还是比较清楚的。如果还觉得不够,可以看国外的《张量几何》,谁写的名字我忘了。张量本来就是和微分几何一道由黎曼一手发展的,所以到了最后会偏向几何了。br方程类的(常微分,偏微分,积分),前面两者好书太多了,常微分的可以入门可以看俄罗斯庞特里亚金的《常微分方程》,以及钱伟长的《微分方程的解法及其应用》,国内的在这方面写得还行。然后进阶的可以看美国人写的教材,一般都会过度到微分流形。偏微分方程,美国人写的好书很多,就不说了。物理里面的《数学物理方法》,《数学物理方程》之类的书也会涉及偏微分方程的内容。微分方程的求解常常引出特殊函数,这方面可以看一本我们伟大的先进的文明的中华人民共和国在国际上唯一拿得出手的一本数学书:王竹溪的《特殊函数概论》,不过这本书虽说是概论,但内容很多,而且习题超难,据说王竹溪说过“我从来不查积分表”,不知道真的假的。如果觉得该书太难,那么可以看刘适式,刘适达两人合著的《特殊函数》。积分方程与泛函分析联系紧密,主要分为两类,奇异积分方程与非奇异的,前者在函数论方面已经说过,后者入门的可以看沈以淡的《积分方程》,李星的《积分方程》,魏培君的《积分方程及其数值方法》,进阶的可以看陈传璋的《积分方程论及其应用》。路见可的《积分方程论》,不过积分方程搞得好的还是前苏联的,所以可以看看维库阿等人的书。br积分变换属于比较小的分支,但是应用却及其广泛,可以看复变函数,积分方程方面的书,里面一般会介绍傅里叶变换,拉普拉斯变换,Z变换,汉克尔变换,梅林变换,离散傅里叶变换,快速傅里叶变换,小波变换等等。小波变换一般在小波分析方面的书里有详细介绍,小波分析主要是法国数学家发展起来的,很复杂啊。/ppbr/pp三大分支介绍完了,再介绍一点别的分支。/pp概率论的书看完之后,可以看随机过程,统计学等等后续的书。/pp离散数学主要在计算机相关专业应用较多,主要包括集合论,数理逻辑,关系代数,逻辑代数,图论等等,每一门都是一个方向,有很多书。/pp计算数学又叫做数值分析,主要是讲插值,逼近,拟合,矩阵计算,线性方程组求解,非线性方程求根,数值积分,数值微分,广义最小二乘等等,随便看哪本书都可以,重在编程计算。/pp/p

  主要是国内教材太差,其实高考范围内就有差距了,你看北京四中,人大附的和三线城市普通老师对同样内容的解读,不在一个维度。但是题主的智商,应付初等数学,物理内容不在话下,就忽略了这个因素,到了高等数学,理论物理的阶段,就发现遇到了瓶颈,这是很…显示全部

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